Formulas Ley de cosenos

grado Centesimal

Un grado centesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/400 de la circunferencia.

El grado centesimal, centígrado o gradián (plural: gradianes), originalmente denominado gon, grade o centígrado —nombres aún en uso en otros idiomas, por ejemplo en portugués se escribe grado— resulta de dividir un ángulo recto en cien unidades. La circunferencia se divide, así, en 400 grados centesimales. Un grado centesimal equivale a nueve décimos de grado sexagesimal. En las calculadoras suele usarse la abreviatura grad. Se representa como una "g" minúscula en superíndice colocada tras la cifra. Por ejemplo: 12,4574g


Transportador de ángulos dividido en grados centesimales y amplitud de 400g.Sus divisores son:

1 grado centesimal = 100 minutos centesimales (100m o 100c)
1 minuto centesimal = 100 segundos centesimales (100s o 100cc)
Para evitar confusiones, en 1948 la unidad homónima de temperatura conocida como grado centígrado pasó a denominarse oficialmente grado Celsius.


Relación con el tamaño de la Tierra [editar]Atendiendo a la definición de metro utilizada en 1889, un kilómetro debería corresponder a la longitud de un arco de meridiano cuya amplitud es un minuto centesimal; aunque mediciones posteriores más precisas del tamaño de la Tierra mostraron que existen diferencias.

Equivalencias [editar]El grado centesimal surge de la división del plano cartesiano en cuatrocientos angulos iguales, con vértice común. Cada cuadrante posee una amplitud 100 grados centesimales, y la suma de los cuatro cuadrantes mide 400 grados centesimales.

Equivalencia entre grados sexagesimales y centesimales
0° = 0g
90° = 100g
180° = 200g
270° = 300g
360° = 400g
Ejemplo
Los siguientes valores angulares son equivalentes:

23° 47' 35" grados sexagesimales
23,7931 grados sexagesimales con fracción decimal
26g 43c 67cc gonios con minutos y segundos centesimales
26,4367 gonios o grados centesimales
Los minutos y segundos de gonio se corresponden con la fracción decimal de gonio, cosa que no ocurre con los grados sexagesimales. No deben confundirse los grados centesimales con el uso de fracciones decimales para expresar ángulos en grados sexagesimales.

Grado Sexagesimal

Un grado sexagesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/360 de la circunferencia. Es la nonagésima (1/90) parte de un ángulo recto

El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, esta definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores el minuto sexagesimal, y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).
1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).
1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

Notación decimal [editar]Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la fraccionaria con la coma decimal, se divide en 60 en la forma normal de expresar cantidades decimales, lo que se busca es transformar en minuto y el segundo numeros decimales, por ejemplo.

23,2345°
12,32°
-50,265°
123,696°
Notación sexagesimal [editar]Podemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos, las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo:

12°34′34″
13°3′23,8″
124°45′34,70″
-2°34′10″
Teniendo cuidado como norma de notación, no dejar espacio entre las cifras, es decir:

escribir 12°34′34,2″ y no 12° 34′ 34″

Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal teniendo en cuenta que:

1’ = (1/60)° = 0.01666667° (redondeando a ocho dígitos)

1” = (1/60)′ = (1/3600)° = 0.00027778°

Así 12°15′23″ = 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)° ≈ 12,25639°

Trigonometria

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο (trigōno) "triángulo" + μετρον (metron) "medida".[1]

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

RAZONES TRIGONOMETRICAS

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

PI

π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:



El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.

La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) de un círculo,[1] notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660), y propuesto su uso por el matemático galés William Jones[2] (1675-1749), aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de Arquímedes).
La búsqueda del mayor número de decimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes.

Antiguo Egipto [editar]
Detalle del papiro Rhind.El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind,[3] donde se emplea un valor aproximado de π afirmando que: el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:





Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del valor aproximado del número π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity,[4] describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 9.

Mesopotamia [editar]Algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de π igual a 3, alcanzando en algunos casos valores más aproximados, como el de 3 + 1/8.

Referencias bíblicas [editar]Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de la Biblia:

«Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía cinco codos de altura y a su alrededor un cordón de treinta codos.»

I Reyes 7:23 (Reina-Valera 1995)
Una cita similar se puede encontrar en II Crónicas 4:2. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C. Ambas citas dan 3 como valor de π lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores estimaciones egipcia y mesopotámica.


Método de Arquímedes para encontrar dos valores que se aproximen al número π, por exceso y defecto.
Método de aproximación de Liu Hui. Antigüedad clásica [editar]El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de π, entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usado por Arquímedes[5] era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.

Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero romano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido.

En el siglo II, Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:

Congruencia de triangulos

12. Congruencia de tr�angulos

12. Congruencia de tr�angulos

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Corresponde a la sesi�n de GA 2.12. LOS GEMELOS

Al observar y comparar figuras geom�tricas, se advierte que, en algunos casos, dos de ellas tienen la misma forma pero no el mismo tama�o y, en otros, puede ser que sean de igual forma y tama�o. Al comparar dos figuras, si observamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que las figuras son congruentes.

El s�mbolo que se emplea para denotar la congruencia es

Para comparar dos tri�ngulos y determinar si existe congruencia entre ellos, existen tres criterios, que se describen y ejemplifican a continuaci�n.

Primer criterio: lado, lado, lado (LLL)

Dos tri�ngulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congruentes a los lados del otro tri�ngulo.

Segundo criterio: lado, �ngulo, lado (LAL)

Dos tri�ngulos son congruentes si, en el primer tri�ngulo, dos de sus lados y el �ngulo comprendido entre ellos del segundo tri�ngulo

Tercer criterio: �ngulo, lado, �ngulo (ALA)

Dos tri�ngulos son congruentes si dos �ngulos y el lado comprendido entre ellos, de uno de los tri�ngulos, son congruentes con dos de los �ngulos y el lado comprendido entre ellos del otro tri�ngulo.

Con la finalidad de ejemplificar los criterios de congruencia de los tri�ngulos, consid�rense los puntos que se dan a continuaci�n.

1. Los siguientes tri�ngulos son congruentes, lo cual puede comprobarse al medir los lados de cada tri�ngulo.

2. Los siguientes tri�ngulos no son congruentes, lo cual se comprueba al medir los lados de cada tri�ngulo.

3. En los siguientes tri�ngulos, los segmentos y los �ngulos congruentes est�n marcados de la misma manera. En funci�n de tal circunstancia, es posible determinar en cu�l de los tres criterios de congruencia son LLL, LAL y ALA.

<

Como puede observarse, los tres lados del primer tri�ngulo son congruentes con los tres lados del segundo tri�ngulo; por lo tanto, estos tri�ngulos se identifican con el primer criterio de congruencia: lado, lado, lado (LLL).

Puede verse que estos tri�ngulos son congruentes debido a que presentan sus �ngulos y sus lados congruentes, respectivamente; por lo tanto, se identifican con el segundo criterio de congruencia: lado, �ngulo, lado (LAL).

Estos tri�ngulos tambi�n son congruentes, ya que dos �ngulos y el lado comprendido entre los �ngulos del primer tri�ngulo son congruentes con respecto al segundo tri�ngulo; por lo tanto, estos tri�ngulos se identifican con el tercer criterio de congruencia: �ngulo, lado, �ngulo (ALA).

Con base en el conocimiento de los criterios de congruencia se puede demostrar con facilidad cu�ndo dos tri�ngulos son congruentes.

Teorema de Tales de Mileto

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos se llaman semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si por un triángulo se traza una linea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema per se demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente entre sus lados.

Segundo teorema

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB, es recto.

Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los dentro de una circunferencia.

Comprobación: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del círculo y r el de la circunferencia. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es equivalente a 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene:

(o 90º).

Además, la de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos iguales. Hipotenusa² = C² + C², es decir AB²=CA²+CB².

En conclusión se forma un triángulo rectángulo.

La recta de Euler

En un triangulo cualquiera "La recta de Euler", es la recta que pasa por el Ortocentro(donde se cortan las alturas), Baricentro(donde se cortan las medianas) y Circuncentro(donde se cortan las mediatrices).

Su nombre se debe al matematico Leonard Euler (1707-1783)

Biografia de Pitagoras

(isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona.

Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pasó en Samos, la isla que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país, cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía.

Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder.

La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.

La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.

El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría».

También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.

El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas.

La voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral; para los pitagóricos, el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera perturbada, y, siendo la música instrumento por excelencia para la purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo. La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigración de las almas; se dice que el propio Pitágoras declaró ser hijo de Hermes, y que sus discípulos lo consideraban una encarnación de Apolo.